3 ознаки паралельності двох прямих на площині: доказ

У цій статті буде надана інформація про ознаки паралельності прямих на площині. Дивіться докази паралельності прямих, представлені приклади й малюнки для наочного пояснення даної теми.

З підручника з геометрії випливає, що паралельними прямими на площині вважаються прямі, що не мають спільних точок перетину. Якщо ж трактувати правило в тривимірному просторі, то паралельними прямими вважають такі дві лінії, які розташовані на одній площині і, знову-таки, не мають спільних точок.

У паралельності ліній є ознаки, аксіоми, властивості. Далі докладніше вивчимо 3 ознаки паралельності двох прямих на площині.

Ознаки паралельності двох прямих на площині: що таке ознаки, аксіоми, властивості?

Спочатку розглянемо, яка різниця між поняттями: ознака, властивість і аксіома. Це дозволить не плутатися в подальшому, що дуже важливо для точних наук:

  • Ознаки – це такі факти, саме за ознаками і можна встановити істинне чи судження про предмети чи ні.
  • Властивості – це точні формулювання (правила), які неможливо спростувати.
  • Аксіома – це належне твердження, абсолютно не потребує доказів. Саме на аксіомах і будуються, зокрема в геометрії, докази ознак і властивостей.

Як бачите, поняття мають відмінності один від одного. Далі вивчимо більше 3 ознаки паралельності двох прямих на площині, щоб довести ознаки, доведеться застосовувати аксіоми, властивості.

Ознаки паралельності двох прямих на площині: визначення

З геометрії відомо, що існує 3 ознаки паралельності двох прямих на площині. Це вивчалося в сьомому класі.

Ознаки паралельності двох прямих – 7 клас:

  1. У першій ознаці мова йде про те, що коли дві лінії перпендикулярні до третьої, то вони між собою не мають жодних спільних точок перетину, і вони паралельні.
  2. У другому ознаці згадується про кутах. Точніше, якщо дві лінії перетинає третя, навхрест лежачі кути, що утворилися в результаті перетину рівні, або ж відповідні кути рівні – лінії (||) паралельні.
  3. Сума односторонніх кутів дорівнює 180 ° , то ці лінії (||) між собою паралельні.

ВАЖЛИВО: Існують зворотні ознаки паралельності ліній. Вони трактуються в зворотній послідовності. Точніше, дві лінії вважаються паралельними. Про це йтиметься в останньому пункті.

Перший ознака паралельності двох прямих на площині — доказ

Ознаки паралельності двох прямих на площині дуже часто застосовуються для вирішення різноманітних геометричних задач, тому потрібно не тільки знати, як його формулювати, а ще вміти і довести дане твердження.

Ще раз повторимо – перший ознака звучить так:

Коли дві лінії перпендикулярні до третьої, то вони між собою не мають спільних точок перетину і паралельні. До даного вислову слід додати, якщо лінії лежать в одній площині, так як в тривимірному просторі дане твердження не зовсім вірно.

Доказ ознаки:

Довести ознака можна легко. Для наочності нижче представлений малюнок:

  • Існує аксіома, що до лінії на площині можна провести перпендикулярну пряму з заданої точки, що не належить лінії, і причому тільки одну.

Уявіть собі, що з однієї точки можна провести дві лінії від іншої лінії. Але тоді не вийде прямих кутів, відповідно останнє твердження не вірне, а ознака є вірним.

Другий ознака паралельності двох прямих – доказ

Всі ознаки паралельності двох прямих на площині не так складно і запам’ятати, але ось другий є найскладнішим у плані доказів.

Коли дві лінії перетинає коса, навхрест лежачі кути рівні, або ж відповідні кути рівні, то лінії між собою (||) паралельні.

Дивіться зображення далі, тут детально описано, які утворюються кути при перетині лінією двох прямих:

Доказ:

Вивчивши малюнок вище, тепер ви зможете розібратися, які кути навхрест лежачі, а які відповідні. Нижче наведено зображення, за яким легко довести, другий ознака паралельності ліній.

Нехай дано: ∠ACK=∠KDB (навхрест лежачі кути ∠ACK, ∠KDB рівні), то лінія b||a.

  • Отже, точки C, D – це точки перетину двох ліній a, b. Спочатку на відрізку шляхом нескладних обчислень знаходимо середню точку відрізка DC.
  • Це буде K, необхідно через середину відрізка (через точку K) провести лінію ⊥ до b.
  • Кути у вершині з точкою K дорівнюють один одному, тому що вони вертикальні, а за умовою задано, що ∠ACK=∠KDB. Ще й CK=KD. З цього випливає, що трикутники, що утворилися в результаті перетину двох ліній, рівні.
  • Кут CAK дорівнює 90º за умовою, оскільки лінія AB перпендикулярна прямій a. Значить і кути, утворені лінією AB з прямими a, b, рівні 90º і трикутники CAK і KBD прямокутні.
  • А за першою ознакою перпендикуляр можна провести тільки до двох паралельних лініях.

Доказ:

Коли відповідні кути утворені лініями біля основи дорівнюють, то лінія a||b.

  • Знову-таки, перше, що слід зробити провести перпендикуляр до лінії a.
  • З рівності трикутників CAK і KBD випливає, що:
  • Кут при основі дорівнює 90º за умовою і відповідний ∠KBD=90º.
  • Значить лінія BA є перпендикуляром і для лінії a, і для прямої b.

Висновок: прямі (||) паралельні.

Третій ознака паралельності двох прямих – доказ

Третє твердження – коли сума (∑) односторонніх кутів дорівнює 180°, значить ці лінії (||) паралельні, довести дуже просто.

  • Потрібно провести перпендикулярно до прямої a, кути, що утворилися біля основи на лінії a, будуть дорівнюють 90º і 90º=180º.
  • Кути у вершині з точкою K дорівнюють один одному, тому що вони вертикальні. Ще й CK=KD за умовою. З цього випливає, що трикутники утворилися в результаті перетину двох ліній, рівні.
  • Значить лінія BA є перпендикуляром і для лінії a, і для лінії b.

Виходячи з малюнка, ∠1 і ∠4 суміжні. Як ми вже знаємо, сума суміжних кутів (∠1+∠4) дорівнює 180º. При цьому ∠1=∠2, як навхрест лежачі.

Звідси висновок: сума односторонніх кутів дорівнює 180 ° (∠2+∠4=180º).

Зворотні ознаки паралельності двох прямих на площині

Ще існують зворотні ознаки паралельності двох ліній на одній площині. І їх твердження звучать з точністю до навпаки:

  1. Лінії вважаються (||) паралельними, коли до них можна провести одну загальну перпендикулярну лінію.
  2. Дві лінії на одній поверхні паралельні, коли у них навхрест лежачі кути між собою рівні або ж вони прямі.
  3. Дві лінії на одній поверхні вважаються (||) паралельними, коли відповідні кути при основі рівні.
  4. Дві лінії на одній поверхні (||) паралельні, коли сума (∑ ) односторонніх кутів дорівнює 180°.

Далі у відео будуть представлені наочні докази ознак паралельності двох ліній в одній площині.

Відео: Ознаки паралельності двох прямих

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*

code