У цій статті буде надана інформація про ознаки паралельності прямих на площині. Дивіться докази паралельності прямих, представлені приклади й малюнки для наочного пояснення даної теми.
З підручника з геометрії випливає, що паралельними прямими на площині вважаються прямі, що не мають спільних точок перетину. Якщо ж трактувати правило в тривимірному просторі, то паралельними прямими вважають такі дві лінії, які розташовані на одній площині і, знову-таки, не мають спільних точок.
У паралельності ліній є ознаки, аксіоми, властивості. Далі докладніше вивчимо 3 ознаки паралельності двох прямих на площині.
Ознаки паралельності двох прямих на площині: що таке ознаки, аксіоми, властивості?
Спочатку розглянемо, яка різниця між поняттями: ознака, властивість і аксіома. Це дозволить не плутатися в подальшому, що дуже важливо для точних наук:
- Ознаки – це такі факти, саме за ознаками і можна встановити істинне чи судження про предмети чи ні.
- Властивості – це точні формулювання (правила), які неможливо спростувати.
- Аксіома – це належне твердження, абсолютно не потребує доказів. Саме на аксіомах і будуються, зокрема в геометрії, докази ознак і властивостей.
Як бачите, поняття мають відмінності один від одного. Далі вивчимо більше 3 ознаки паралельності двох прямих на площині, щоб довести ознаки, доведеться застосовувати аксіоми, властивості.
Ознаки паралельності двох прямих на площині: визначення
З геометрії відомо, що існує 3 ознаки паралельності двох прямих на площині. Це вивчалося в сьомому класі.
Ознаки паралельності двох прямих – 7 клас:
- У першій ознаці мова йде про те, що коли дві лінії перпендикулярні до третьої, то вони між собою не мають жодних спільних точок перетину, і вони паралельні.
- У другому ознаці згадується про кутах. Точніше, якщо дві лінії перетинає третя, навхрест лежачі кути, що утворилися в результаті перетину рівні, або ж відповідні кути рівні – лінії (||) паралельні.
- Сума односторонніх кутів дорівнює 180 ° , то ці лінії (||) між собою паралельні.
ВАЖЛИВО: Існують зворотні ознаки паралельності ліній. Вони трактуються в зворотній послідовності. Точніше, дві лінії вважаються паралельними. Про це йтиметься в останньому пункті.
Перший ознака паралельності двох прямих на площині — доказ
Ознаки паралельності двох прямих на площині дуже часто застосовуються для вирішення різноманітних геометричних задач, тому потрібно не тільки знати, як його формулювати, а ще вміти і довести дане твердження.
Ще раз повторимо – перший ознака звучить так:
Коли дві лінії перпендикулярні до третьої, то вони між собою не мають спільних точок перетину і паралельні. До даного вислову слід додати, якщо лінії лежать в одній площині, так як в тривимірному просторі дане твердження не зовсім вірно.
Доказ ознаки:
Довести ознака можна легко. Для наочності нижче представлений малюнок:
- Існує аксіома, що до лінії на площині можна провести перпендикулярну пряму з заданої точки, що не належить лінії, і причому тільки одну.
Уявіть собі, що з однієї точки можна провести дві лінії від іншої лінії. Але тоді не вийде прямих кутів, відповідно останнє твердження не вірне, а ознака є вірним.
Другий ознака паралельності двох прямих – доказ
Всі ознаки паралельності двох прямих на площині не так складно і запам’ятати, але ось другий є найскладнішим у плані доказів.
Коли дві лінії перетинає коса, навхрест лежачі кути рівні, або ж відповідні кути рівні, то лінії між собою (||) паралельні.
Дивіться зображення далі, тут детально описано, які утворюються кути при перетині лінією двох прямих:
Доказ:
Вивчивши малюнок вище, тепер ви зможете розібратися, які кути навхрест лежачі, а які відповідні. Нижче наведено зображення, за яким легко довести, другий ознака паралельності ліній.
Нехай дано: ∠ACK=∠KDB (навхрест лежачі кути ∠ACK, ∠KDB рівні), то лінія b||a.
- Отже, точки C, D – це точки перетину двох ліній a, b. Спочатку на відрізку шляхом нескладних обчислень знаходимо середню точку відрізка DC.
- Це буде K, необхідно через середину відрізка (через точку K) провести лінію ⊥ до b.
- Кути у вершині з точкою K дорівнюють один одному, тому що вони вертикальні, а за умовою задано, що ∠ACK=∠KDB. Ще й CK=KD. З цього випливає, що трикутники, що утворилися в результаті перетину двох ліній, рівні.
- Кут CAK дорівнює 90º за умовою, оскільки лінія AB перпендикулярна прямій a. Значить і кути, утворені лінією AB з прямими a, b, рівні 90º і трикутники CAK і KBD прямокутні.
- А за першою ознакою перпендикуляр можна провести тільки до двох паралельних лініях.
Доказ:
Коли відповідні кути утворені лініями біля основи дорівнюють, то лінія a||b.
- Знову-таки, перше, що слід зробити провести перпендикуляр до лінії a.
- З рівності трикутників CAK і KBD випливає, що:
- Кут при основі дорівнює 90º за умовою і відповідний ∠KBD=90º.
- Значить лінія BA є перпендикуляром і для лінії a, і для прямої b.
Висновок: прямі (||) паралельні.
Третій ознака паралельності двох прямих – доказ
Третє твердження – коли сума (∑) односторонніх кутів дорівнює 180°, значить ці лінії (||) паралельні, довести дуже просто.
- Потрібно провести перпендикулярно до прямої a, кути, що утворилися біля основи на лінії a, будуть дорівнюють 90º і 90º=180º.
- Кути у вершині з точкою K дорівнюють один одному, тому що вони вертикальні. Ще й CK=KD за умовою. З цього випливає, що трикутники утворилися в результаті перетину двох ліній, рівні.
- Значить лінія BA є перпендикуляром і для лінії a, і для лінії b.
Виходячи з малюнка, ∠1 і ∠4 суміжні. Як ми вже знаємо, сума суміжних кутів (∠1+∠4) дорівнює 180º. При цьому ∠1=∠2, як навхрест лежачі.
Звідси висновок: сума односторонніх кутів дорівнює 180 ° (∠2+∠4=180º).
Зворотні ознаки паралельності двох прямих на площині
Ще існують зворотні ознаки паралельності двох ліній на одній площині. І їх твердження звучать з точністю до навпаки:
- Лінії вважаються (||) паралельними, коли до них можна провести одну загальну перпендикулярну лінію.
- Дві лінії на одній поверхні паралельні, коли у них навхрест лежачі кути між собою рівні або ж вони прямі.
- Дві лінії на одній поверхні вважаються (||) паралельними, коли відповідні кути при основі рівні.
- Дві лінії на одній поверхні (||) паралельні, коли сума (∑ ) односторонніх кутів дорівнює 180°.
Далі у відео будуть представлені наочні докази ознак паралельності двох ліній в одній площині.
Відео: Ознаки паралельності двох прямих
